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折紙の数学

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折紙の数学とは、折り紙に関する数学のことである。紙を折り曲げる芸術である折紙に対し、これまでに相当量の数学的研究が行われてきた。関心をもたれる分野は紙を折りたたんで形作ること（その形を紙を切らずに折ることが出来るかどうか）と、紙を折ることが数学の方程式を解くのに役立つ点である。

折紙に対し数学的な取り組みを行うときに一般的な折紙遊びとの混同をさけるため、折紙数理の権威芳賀和夫は1994年の第2回折り紙の科学国際会議において世界共通語である折り紙（origami）に数学（mathematics）などの学術・技術を表す語尾（-ics）を合わせてオリガミクス（origamics）という名を提唱し、その名で呼称されることもある。

概要

いくつかの幾何学の古典的な作図問題－すなわち角の三等分や立方体倍積－は定規とコンパスによる作図を使って解く事が出来ないことが立証されたが、それらは数回紙を折ることで解く事が出来る。また、折り紙は4次方程式まで解くように構成することが出来る。（藤田－羽鳥の公理（Huzita-Hatori axioms）は、この分野で一つの重要な貢献をしている。）

幾何学公理の応用による折紙研究の結果、芳賀定理などの方法で折紙は正方形の一辺を3分の1、5分の1、7分の1、および9分の1に正確に折ることが出来るということが認められた。また他の定理と方法をもちいれば、折紙で正方形から、三角形、五角形、六角形のようななど他の形にすること、加えて黄金四角形と白銀比のような特殊な長方形を作ることが可能である。

剛体折紙の問題は、折り目をシート・メタルのような硬い2つの平面を接合する蝶番のようなものとして扱うものであるが、これは大いに実用的な意義がある。例をあげると、ミウラ折りは人工衛星の大きなソーラー・パネル配列を効果的に展開するのに使用された剛体折紙である。

折り目の模様から平面の原型を折り重ねるものはNP完全問題であるとマーシャル・ベルンとバリー・ヘイズによって証明された[1]。他の結果や参考文献については^[1]を参考にされたい。

1方向へ半分に紙を折るための損失関数は $\scriptstyle L\, =\, \tfrac{\pi t}{6} (2^n + 4)(2^n - 1)$ で表される（Ｌは紙の最小限の長さ（もしくは他の材質）、tは材質の厚さ、そしてnは可能な折り目の数の文字数）。この関数は当時高校生だったブリトニー・キャリヴァンによって2001年に与えられた。（広く信じられていた8回という回数を超え, 12回折り曲げた^[2]。）

歴史

幾何学の歴史の中でユークリッドの法則に代わる新たな作図法が無いか研究され1896年、スンダラ・ローが紙の折り目に注目し幾何学の分野での研究を著した「折紙の幾何学的演習」を出版した。この本は当時、あまり注目されなかったが後にドイツの数学者フェリックス・クラインの目に留まりこの分野の研究に注目が集まった。

1924年、C・A・ラップの「折紙の操作」、1935年と1936年にはマルガリータ・ピラツォラ・ベロックの論文「幾何の問題を折紙で解く」、「3次と4次の方程式を折紙で解く」が後に続いたがその後、研究は下火になり1989年12月、イタリアで行われた第1回折り紙の科学国際会議が行われたことで再び注目を浴びることになった。このとき出された会報は現代の折紙に対する研究に大きく寄与し編者ベネデット・スキメニと共同研究者藤田文章はこの分野の研究の草分けとなった。

参考書籍

^ Demaine, Erik & O'Rourke, Joseph (July 2007), Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85757-4
^ Weisstein, Eric W. (March 2006), Folding., MathWorld--A Wolfram Web Resource

折紙の数学―ユークリッドの作図法を超えて（ゲレトシュレーガー著、深川英俊訳、森北出版、2002年4月30日）
オリガミクスⅠ【幾何図形折り紙】（芳賀和夫著、日本評論社、1999年10月10日）
オリガミクスⅡ【紙を折ったら,数学が見えた】（芳賀和夫著、日本評論社、2005年8月30日）
多面体の折紙－正多面体・準正多面体およびその双対－（川村みゆき著、日本評論社、1995年12月10日）

外部リンク

カテゴリ: 正確性 | 折り紙 | 数学

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折紙の数学

目次

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歴史

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